来做数学题 (4人在浏览)

[aest]

问题1：2013的2013次幂，有多少位数字？
解答后，继续更新问题。

 

[龙头山]

俺小学数学不错，但弱弱的问一句，什么是幂？杨幂吗？这个女人我在电视上见过！

 

[aest]

2013^2013(2013的2013次方)

 

[游城电子]

QUOTE(aest @ 2013年01月25日 Friday, 02:06 AM)
2013^2013(2013的2013次方)

[snapback]3488419[/snapback]​

6651？

 

[ohye]

4.3402910257843597948178742074802e+6650

 

[aest]

QUOTE(游城电子 @ 2013年01月25日 Friday, 05:56 PM)
6651？

[snapback]3488821[/snapback]​

不错啊，正确！

 

[aest]

问题2：求2013^2013最后4位数。

 

[春诗]

2013的2013次幂的位数=（2.013)*10^3的2013次幂.
等于(2+0.013)*10^3的2013次幂.
位数等于2*10^3的2013次幂(用二次项定理证明).
2*10^3的2013次幂等于2的2013次幂剩以10^3的2013次幂.
10^3的2013次幂次等于10^6039
2^2013=?
2^10=1024=(1+0.024)*10^3。
2^2013=2^2010*2^3=8*((1+0.024)*10^3)^201.
((1+0.024)*10^3)^201的位数等于（10^3)^201的位数・
（10^3)^201等于10^603
所以,2013的2013次幂的位数为6039+603=6642

错在哪？


正确答案怎样来？

 

[aest]

你的运算我看得有点头大。
也许你去掉了一些可能比较微小的、不大重要的部分，所以造成了有少少误差。
计算过程很简单，用对数来计算即可：
[attachmentid=307459]

 

[aest]

现在我们开始讨论第2个问题啦。
问题2：求2013^2013最后4位数。

 

[春诗]

QUOTE(aest @ 2013年01月26日 Saturday, 02:19 AM)
现在我们开始讨论第2个问题啦。
问题2：求2013^2013最后4位数。

[snapback]3489067[/snapback]​

8253？

 

[春诗]

QUOTE(aest @ 2013年01月26日 Saturday, 02:17 AM)
你的运算我看得有点头大。
也许你去掉了一些可能比较微小的、不大重要的部分，所以造成了有少少误差。
计算过程很简单，用对数来计算即可：
[attachmentid=307459]

[snapback]3489066[/snapback]​

首先赞扬一下aest的数学能力，然后诘问一下：
如果可以用计算器的话，应该事先说明。否则，高考题如果出sin7°sin8°sin9°用计算器按一下就可以？
但，还是承认没有想到用对数来求位数这样简单易行的方法，先谢谢指教！

 

[春诗]

QUOTE(aest @ 2013年01月26日 Saturday, 02:19 AM)
现在我们开始讨论第2个问题啦。
问题2：求2013^2013最后4位数。

[snapback]3489067[/snapback]​

2013*2013的最后四位数是2169
4次幂的最后四位数是4561，
8、、、、、、、、、2721，
16、、、、、、、、3841，
32、、、、、、、、、3281，
64、、、、、、、、、
128
256
512
1024、、、、、、、、、1361，
1536、、、、、、、、、4641，
1792、、、、、、、、、9681，
1920、、、、、、、、、4801，
1984、、、、、、、、、7761，
2000、、、、、、、、、0001，
2012、、、、、、、、、0481，
2013、、、、、、、、、8253.
原理：最后四位数只和最后四位数有关。

 

[春诗]

我的估算是6642个0，就是6643位数，由于首位数是8，如果有一个进位，就是6644，好像误差是千分之一，但7位数就是百万倍！
原因是二次项定理的系数忘了，
如果高中数学程度好，是可以指出！！！
于(2+0.013)*10^3的2013次幂.
位数不等于2*10^3的2013次幂位数。
第一项是2^2013,第二项(2013*2012/2)(2^2012*0.013)比第一项大！！

 

[春诗]

游城电子老是知道答案，从来没有过程？

 

[游城电子]

QUOTE(春诗 @ 2013年01月27日 Sunday, 11:44 PM)
游城电子老是知道答案，从来没有过程？

[snapback]3490099[/snapback]​

8253

即求2013^2013第13 个数后4位
即求2013^13后4位，即13^13+13*2000*13^12后4位
13^3==2197(mod10000)
13^6==6809(mod10000)
13^12==2481(mod10000)
13^13==2253(mod10000)
13^13+13*2000*13^12==6000(mod10000)
6000+2253=8253

 

[游城电子]

打字太慢了。很少回复那么多内容的

 

[aest]

对了喔

 

[春诗]

QUOTE(游城电子 @ 2013年01月28日 Monday, 09:27 AM)
8253

即求2013^2013第13 个数后4位
即求2013^13后4位，即13^13+13*2000*13^12后4位
13^3==2197(mod10000)
13^6==6809(mod10000)
13^12==2481(mod10000)
13^13==2253(mod10000)
13^13+13*2000*13^12==6000(mod10000)
6000+2253=8253

[snapback]3490233[/snapback]​

后面部分看明白，前面部分不明白。
2013^13后4位，即13^13+13*2000*13^12后4位
13^3==2197(mod10000)
13^6==6809(mod10000)
13^12==2481(mod10000)
13^13==2253(mod10000)
13^13+13*2000*13^12==6000(mod10000)
6000+2253=8253
这点明白，
前面部分就不懂：这么说，是否2014^2014后4位即求2014^14后4位呢?如果说是,肯定是不对.
因为2013^2000最后4位是0001,所以2013^2013最后4位就是2013^13最后4位.
这是很碰巧的.
把2013^2013转化为(2000+13)^2013视乎计算容易些,其实是没有必要.因为3^10都很大了.
当然也可能是我看不明白而已.

 

[春诗]

(N*10000+X)^2=N^2*100000000+2N*10000+X^2
无论N取任何数,都不影响最后4位数.

2013^2013=(2000+13)^2013
用二次项定理展开,如果给我时间,我可以算出是多少位数(仅用纸和笔),我却无法仅用纸和笔算出lg2013,仅知道大于3，小于4！

 

[aest]

lg2013，可以用麦克劳林或者泰勒展开式，进行笔算的。计算器能够快速运算，也是基于此的。

 

[游城电子]

QUOTE(春诗 @ 2013年01月29日 Tuesday, 10:46 PM)
后面部分看明白，前面部分不明白。
2013^13后4位，即13^13+13*2000*13^12后4位
13^3==2197(mod10000)
13^6==6809(mod10000)
13^12==2481(mod10000)
13^13==2253(mod10000)
13^13+13*2000*13^12==6000(mod10000)
6000+2253=8253
这点明白，
前面部分就不懂：这么说，是否2014^2014后4位即求2014^14后4位呢?如果说是,肯定是不对.
因为2013^2000最后4位是0001,所以2013^2013最后4位就是2013^13最后4位.
这是很碰巧的.
把2013^2013转化为(2000+13)^2013视乎计算容易些,其实是没有必要.因为3^10都很大了.
当然也可能是我看不明白而已.

[snapback]3491126[/snapback]​

 

[游城电子]

2013^2013的后四位数500个会循环出现，你可以用VB编程看看就知道了，不是巧合的
3^10同余计算很快的
例如算2012^2012的后三位数笔算3分钟足够多了，你的方法必须要计算器

 

[春诗]

QUOTE(aest @ 2013年01月29日 Tuesday, 11:38 PM)
lg2013，可以用麦克劳林或者泰勒展开式，进行笔算的。计算器能够快速运算，也是基于此的。

[snapback]3491150[/snapback]​

学习了，
专业的就是不同。

 

[春诗]

QUOTE(游城电子 @ 2013年01月30日 Wednesday, 12:50 PM)
2013^2013的后四位数500个会循环出现，你可以用VB编程看看就知道了，不是巧合的
3^10同余计算很快的
例如算2012^2012的后三位数笔算3分钟足够多了，你的方法必须要计算器

[snapback]3491463[/snapback]​

果然是高手，学习了！

4位数相乘，笔算时间多了的罢了，几个4位数相乘，30分钟内是可以的。